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Grundrechenarten - Rechenregeln

Aufgrund einer Erkrankung kommt nun etwas spät der letzte Eintrag über die Grundrechenarten: die Rechenregeln.

Die Rechenregeln zeigen welche Operationen durchgeführt werden dürfen ohne dass man das Ergebnis verändert:

Leider hab ich keine Namen für die Regeln von Subtraktion und Division gefunden, doch ich nehme an die sind ähnlich denen der Addition und Multiplikation.

Addition:

Kommutativgesetz(Vertauschungsgesetz): a+b=b+a, bei der Addition kann man die Summanden beliebig vertauschen.

Assoziativgesetz(Verbindungsgesetz): (a+b)+c=a+(b+c), außerdem ist es bei der Addition egal, ob man zuerst die ersten Summanden addiert und dann den letzten hinzufügt oder ob man von hinten  beginnt und zuerst die hinteren Teile addiert und dann erst die vorderen.

neutrales Element: x=0, wenn man 0 zum Ergebnis hinzuaddiert ändert sich das Ergebnis nicht.

Subtraktion:

a-b=-b-a, entspricht wohl dem Kommutativgesetz, wenn man Minuend und Subtrahent vertauscht ändert sich das Vorzeichen der Differenz.

(a-b)-c=a-(b+c), entspricht dem Assoziativgesetz, rechnet die einzelnen Teile nicht hintereinander so muss man zum Teil nicht subtrahieren, sondern addieren.

neutrales Element ist hier die 0, zieht man von einer Zahl 0 ab, so ändert dies das Ergebnis nicht.

Multiplikation:

Kommutativgesetz: a*b=b*a, ähnlich der Addition.

Assoziativgesetz: (a*b)*c=a*(b*c), ebenso.

Distributivgesetz: a*(b+-c)=a*b+-a*c, man kann einen Faktor in die Klammer hineinziehen, indem man ihn zu allen Summanden multipiziert.

neutrales Element: x=1, rechnet man eine Zahl mal 1 so ändert sie sich nicht.

absorbierendes Element: x=0, rechnet man eine Zahl mal 0 so ergibt die Multipliaktion immer 0.

Division:

"Kommutativgesetz": a:b=1: (b:a), vertauscht man die beiden Teile einer Division erhält man den Kehrwert. (Der Abstand in der Gleichung musste sein, da sonst Smileys entstehen)

"Assoziativgesetz": a:b:c=a: (b*c), verbindet man die hinteren Teile einer Division, so muss man diese multiplizieren anstatt zu dividieren.

neutrales Element: x=1, rechnet man eine Zahl durch 1 so ändert sie sich nicht.

Eine Division durch null ist nicht möglich.

 

Hier kann es leicht sein, dass ich hier ein paar kleine Fehler in der Erklärung sind, oder etwas fehlt, da ich diese Regeln selten bewusst einsetze. Ich weiß, wie sie funktionieren, aber ich denke nicht jedes mal daran, dass ich in diesem Moment diese eine Regel einsetze.

27.5.10 17:51


Grundrechenarten - Division

Die Division ist die Rechnung mit der man eine Zahl in mehrere gleich große Zahlen aufteilt. Sie ist die Umkehrung der Multiplikation. Und sie ist wohl der sinnhafteste Eintrag, da die meisten alle Arten zu rechen verstehen, bis auf die Division, die bei vielen wieder verloren gegangen ist.

Wieder verwende ich 2 Zahlen: 198 und 24

Zuerst schreibt man 198 und 24 getrennt durch einen Doppelpunkt nebeneinander:

198:24=

Danach bestimmt man die Anzahl der Stellen die das Ergebnis besitzt indem man verglicht ab wann die hintere Zahl das erste mal in die zweite Zahl passt. Ich schreibe dazu einmal die Zahl darüber:

  24

198:24=

Daran wo die Einerstelle der zweiten Zahl steht, erkennt man wieviele Stellen das Ergebnis besitzt. Hier steht die Einerstelle über der Einerstelle, somit besteht das Ergebnis nur aus einer Ziffer vor dem Komma.

198:24=.

Nun beginnt man zu fragen wie oft 24 in 198 passt, hier sind es 8 mal.

198:24=8,

Um zu sehen ob ein Rest bleibt, beziehnungsweise ob es noch Nachkommastellen gibt muss man zurückrechnen. dies macht man, indem man von 198, 8*24 abzieht:

198:24=8,

   6

Um weiterzurechnen schreibt man eine Null neben den 6er und fragt, wie oft 24 in 60 passt (2mal):

198:24=8,2

   60

    12

Nun fährt man so fort, bis man eine vollständige Lösung hat:

198:24=8,25

    60

    120

        0R

Es kann auch vorkommen, das eine Zahl so viele Nachkommastellen hat, dass es einen zu großen Aufwand nach sich zieht alles zu lösen. Dann kann man runden(d.h. man rechnet eine Stelle weiter als man benötigt und wenn diese Stelle kleiner als 5 ist rundet man ab indem man einfach die zusätzliche Stelle streicht, ist dies nicht der Fall, so rundet man auf indem man die zusätzliche Stelle zwar auch streicht, aber die Stelle davor um eins erhöht. Aus 0,23 wird dann 0,2, aus 0,26 wird 0,3). Dies zieht dann allerdings einen Rundungsfehler nach sich den man dann in Kauf nehmen muss.

Es gibt auch noch eine mögliche Situation: Man bemerkt nach kurzer(oder langer) Zeit, dass sich die Zahlen, die man unter die Division schreibt wiederholen. Dann ist das Ergebnis wahrscheinlich periodisch und man könnte rechnen so lange man will, denn das Ergebnis ist unendlich lang, immer wieder die selbe Abfolge an Zahlen. Ein einfaches Beispiel dafür ist 1:3 das Ergebnis sieht nämlich so aus: 0,33333333usw.

 

So, das wars nun fast mit den Grundrechenarten, es kommen nur noch die Rechenregeln für ebendiese.

17.5.10 22:36


Funktionen2 - Funktionen der Form f(x)=ax²+bx+c

Der zweite Eintrag über Funktionen dreht sich nun um Funktionen 2.Grades, oder auch der Form f(x)=ax²+bx+c.

Die Grundform entsteht durch die Funktion f(x)=x², Diese Funktion bildet als Graph eine Parabel, sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse und geht durch den Ursprung, dieser ist der niedrigste Punkt.

Der Koeffizient a verändert die Steilheit der Parabel, Je größer a, desto steiler die Parabel, je kleiner a, desto flacher die Parabel.

Der Teil bx erzeugt eine Verschiebung sowohl in der horizontalen, wie auch in der vertikalen Richtung bei einem positiven Koeffizienten b nach links unten, bei einem negativen Koeffizienten b nach rechts unten. b verschiebt somit die Symmetrieachse.

Und c ist wie auch bei der linearen Funktion die vertikale Verschiebung. c kann man im Graph sofort an der Stelle x=0 erkennen. bei positivem c wird die Funktion nach oben verschoben, bei negativem c nach unten. Nur c kann den Graph aus dem Ursprung entfernen.

Diesmal ist der Eintrag nicht sehr ergiebig, aber die weiteren Eigenschaften kommen erst bei der Differentialrechnung.

17.5.10 18:06


Grundrechenarten - Multiplikation

Die Multiplikation ist sozusagen eine Fortführung der Addition, sie heißt nichts anderes als dass eine Addition von einer Form wie dieser: 3+3+3+3 auch dargestellt werden kann als: 4*3

Wie man dies bei schwereren Aufgaben als dem Einmaleins löst will ich nun beschreiben. Das Einmaleins ist in diesem Fall aber auf jeden Fall das Minimum:

Ich nehme wieder zwei Zahlen, diesmal aber eine dreistellige und eine zweistellige: 154 und 26

Zuerst schreibt man die beiden Zahlen nebeneinander (getrennt durch ein Mal) und zieht einen Strich darunter:

154*26

Danach beginnt man bei der zweiten Zahl von vorne und der ersten Zahl von hinten.

154*26

    8

Wie auch bei der Addition zählt man bei einem zweistelligen Ergebnis eines Rechenschritts die Zehnerstelle beim nächsten Rechenschritt hinzu:

154*26

308

Nun fährt man mit der nächsten Stelle des zweiten Faktors ebenso fort, mit dem Unterschied, dass man das Ergebnis um eine Stelle nach rechts rückt:

154*26

308

  924 

Hat man alle Stellen des zweiten Faktors durch addiert man die Ergebnisse der einzelnen Rechenschritte, wobei man sich bei einer weiter links stehenden Zahl einen Nuller denken kann und je weiter links die Zahl steht, desto mehr Nuller erhält sie:

154*26

3080

  924

4004

Somit ist auch die dritte Grundrechenart erklärt und es kommt nur noch eine, die Division.

16.5.10 22:38


Funktionen1 - linear, homogen, inhomogen

Damit auch mal etwas anderes im Blog steht kommt hiermit der erste Eintrag im Fortgeschrittenen-Bereich. Ich beginne gleich mit meinem Lieblingsthema, Funktionen. Leider kann ich hier nicht zu viele Bilder und Koordinatensysteme auffahren, da myblog.de die Datenmenge an Bildern für kostenlose User begrenzt.

 

Allgemein: Eine Funktion ordnet jedem Argument x genau einen Funktionswert y (oft auch f(x) genannt) zu.

 

Im ersten Eintrag einmal die linearen Funktionen:

Lineare Funktionen sind Funktionen deren Graphen (Verlauf im Koordinatensystem) Geraden bilden. Sie sind somit vom 1.Grad (d.h. der größte in der Funktionsgleichung vorkommende Exponent ist die 1).

Ihre Funktionsgleichungen lauten nach dem Prinzip y=k*x+d. k ist hierbei die Steigung (d.h. auf einer Strecke von 1 Einheit steigt die Gerade um k Einheiten). und d ist die Verschiebung (d.h. wenn x=0 ist, dann ist der Funktionswert genau bei d Einheiten). Je nach Literatur findet man hier andere Buchstaben für k und d.

 

Nun zu den Begriffen homogen und inhomogen: Wenn d=0 ist, also der Graph durch den Ursprung verläuft, dann bezeichnet man eine Funktion als homogen. Ist dies nicht der Fall bezeichnet man sie als inhomogen.

 

 

15.5.10 22:29


Grundrechenarten - Subtraktion

Nun zur zweiten Rechenart: die Subtraktion

Bei der Subtraktion wird von einer Zahl eine andere Zahl abgezogen.

Als Beispiel verwende ich die Zahlen 658 und 749, wobei die zweite von der ersten abgezogen wird.

 658

-749

 

Da die zweite Zahl größer ist als die erste dreht man einfach die beiden Zahlen um und setzt ein Minus vor das Ergebnis:

 749

-658

-

und geht dann wie bei der Addition von hinten nach vorne vor:

 749

-658

-    1

Hier muss man nun die größere Ziffer von der kleineren abziehen. Hier hilft man sich dadurch, dass man der kleineren eine Zehnerstelle hinzugibt, also 5 von 14 abzieht und dann den Einser im nächsten Schritt noch zusätzlich abzieht:

 749

-658

-091

Den Nuller kann man sich natürlich sparen, aber ich habe ihn zur Vernschaulichung stehen gelassen, da man hier dann ja 7 von 7 abzieht.

15.5.10 14:15


Grundrechenarten - Addition

 

Addition oder Plusrechnen ist nichts anderes als zu einer gewissen Zahl noch etwas hinzuzugeben. Zählen ist zum Beispiel schon eine Addition, man fügt jedesmal 1 hinzu.

Dies wissen aber eigentlich alle. Nun geht es darum Additionen auch ohne Taschenrechner durchzuführen:

Als Beispiel nutze ich nun 2 dreistellige Zahlen -> 852 und 154

Zuerst schreibt man die Zahlen untereinander, sodass immer eine Ziffer unter der anderen steht:

  852

+154

Der Strich dient dabei zur Trennung der Rechnung (Summanden) vom Ergebnis (Summe). Nun beginnt man von hinten immer Ziffer und Ziffer zusammenzuzählen, hierbei hoffe ich, dass es jeder schafft einzelne Ziffern zu addieren.

  852

+154

     6

Hier ist es noch klar, doch schon bei der nächsten Stelle wird es schwieriger, denn das Ergebnis wird zweistellig. Dabei schreibt man einfach die Einerstelle an und merkt sich die Zehnerstelle. 

  852

+154

    06

Diese Zehnerstelle fügt man dann beim nächsten Rechenschritt hinzu.

  852

+154

 1006

Ich denke dies sollte den meisten helfen diese Probleme auch ohne Taschenrechner zu lösen.

14.5.10 22:14


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